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· A utom A tiz A ción y c ontrol de Procesos i ndustri A les ·

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R: resistencia térmica = 1/AU, m K/W. T= CR es la constante de tiempo. lo practico en minutos.
La (21) es una ecuación diferencial de primer orden y los procesos que se describen de este modo se llaman así. Se caracterizan
por tener una capacidad y una resistencia en serie. En control automático, interesan las variaciones en torno de las condiciones
estacionarias, no los valores absolutos, pues los cambios son pequeños, las condiciones iniciales se consideran nulas. La integral
bajo ese supuesto:

(22)

En un proceso de mezcla para lograr una determinada concentración, la ecuación es igual a la (22), pero referidas a las concen-
traciones actual y final la curva de respuesta es típica, fig. (14). Cuando t = T, la relación concentración inicial versus final es
del 63 %. En el origen, la tangente es 1/T, o 1 en coordenadas t/T. Pero cuando t = 4 T, la relación es del 98 %, indicativa de
un buen mezclado.

Figura 14 - Respuesta de un sistema de Primer orden a un cambio de escalón Figura 15 - Respuesta de un sistema de segundo orden a un cambio de escalón

· El cálculo simbólico

Hasta ahora nos manejamos con matemática clásica, pero para seguir avanzando hay que introducir
cálculo simbólico, que lo haremos, del modo más sencillo. La técnica consiste en cambiar la variable real t (tiempo) por una varia-
ble compleja s, utilizando la Transformación de Laplace P.S. (Francia 1749-1821) que se simboliza con la letra L. La definición

(23)

s es el espejo de t en el campo complejo.

Bibliografía: Cheng D. Analyses of Linear Systems,Thomson W.C.Laplace Transformation, Mc Lachlan N.W. Modern
Operational Calculus”, Franking P. “An Introduction to Fourier Methos and Laplace Transformation”. Algunos libros de matemá-
tica aplicada.

Pero no hace falta resolver la ecuación (26) para manejarnos. Gracias a los matemáticos, hay tablas muy buenas de la transforma-
ción de Laplace que nos dan las equivalencias entre f(t) y F(s)

Teoremas:

La transformación de la derivada de f(t) se obtiene multiplicando su transformada por s y la integral de f(t) entre t y cero, divi-
diendo por s. Si f(t) es la derivada de f(t) y F(s) su transformada:

(24)

Valor final: lim f(t) cuando t ¦ ∞ = lim sF(s) cuando s¦ 0 (25)
¦

422 A&G 100 • Tomo XXV • Vol. 3 • 412-439 • (2015)